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Vectores: teoría, ejemplos y ejercicios resueltos

Vectores teoría, ejemplos y ejercicios resueltos.

En esta ocasión hablaremos de los vectores, los mismos son muy utilizados en las ingenierías y la física, principalmente para poder esquematizar situaciones que nos permitan analizarlas y encontrar un resultado vectorial. Esto porque, los fenómenos físicos que ocurren a nuestro alrededor se presentan estableciendo relaciones entre cantidades físicas que son necesarias medir y conocer como se comportan.

La teoría de vectores te dará los cimientos necesarios para comenzar el recorrido por la mecánica y sus diferentes ramas, como lo son: la cinemática, la dinámica y la estática.

Magnitudes o cantidades física

Las magnitudes son todas las propiedades de los cuerpos que podemos cuantificar a través de un proceso de medida. Al medir en realidad lo que hacemos es comparar una magnitud de un cuerpo u objeto con un modelo universalmente aceptado. Las magnitudes físicas se clasifican en escalares y vectoriales.

Como ejemplos tenemos:

Patrones-de-medidas.

Magnitudes escalares y vectoriales

Cantidades escalares

Cada una de estas cantidades se determina mediante un número y una unidad de medida. Por ejemplo, una masa de 20 kg, la masa queda representada por su magnitud (número 20) y su unidad correspondiente, en este caso kilogramos (kg).


Las magnitudes escalares quedan determinadas por: una magnitud o módulo (o sea un número y unidad de medida).


Magnitudes Escalares

Cantidades vectoriales

Por otro lado, para poder ser más precisos a la hora de calcular y medir, no basta con tener solo la magnitud, necesitamos más datos, por ejemplo, podríamos decir que un barco está fondeado a 250 km del puerto, sin embargo, ¿cómo sabes exactamente su ubicación?

Para esto, entonces necesitamos agregar aparte de la magnitud (250 km), la dirección (por ejemplo, 55?) y su sentido (ya sea al norte, sur, este u oeste). 

Todas las cantidades vectoriales se representan gráficamente mediante vectores, que se simbolizan a través de una flecha. Su notación se realiza mediante la letra de la magnitud y una flecha arriba de esta. Ejemplo fuerza F, Velocidad v


Las magnitudes vectoriales quedan determinadas por: una magnitud o módulo, dirección (ángulo) y sentido.


Magnitudes vectoriales

Vectores y representación gráfica

¿Qué son los vectores?

Un vector en física, es un segmento de recta que tiene una dirección (ángulo), sentido (flecha) y una magnitud (longitud del vector). Dicho vector se grafica en un plano cartesiano a escala.

Un vector resultante es el vector que puede reemplazar un grupo de vectores que actúan en un sistema. Él podría producir el mismo efecto por sí solo, si no estuvieran los otros vectores actuando al mismo tiempo.

¿Cuáles son los elementos de un vector?

  • Origen: es el punto exacto donde nace el segmento de recta. Se le conoce también como punto de aplicación.
  • Magnitud: es la longitud del vector. Se conoce midiendo desde el origen hasta el extremo (en el método gráfico) o analíticamente.
  • Sentido: está representada por la flecha en el extremo del vector e indica si está dirigido al norte, sur, este u oeste.
  • Dirección: representa la inclinación del vector en el espacio, es representado por el ángulo.
Partes-Vectores

Tipos de vectores

  • Vectores coplanares: son los vectores que se encuentran en un mismo plano.
  • Vectores colineales: son vectores que están en una misma línea de acción.
  • Concurrentes: son vectores cuyas líneas de acción convergen en un solo punto.
Tipos de vectores. Coplanares, colineales, concurrentes

Sistemas de coordenadas y dirección de los vectores

Para determinar la dirección de un vector debemos graficar un sistema de coordenadas como el plano cartesiano. Este sistema cartesiano está formado por dos ejes en un espacio bidimensional o tres en el espacio tridimensional. Estos ejes son perpendiculares entre sí, y se cortan en un solo punto llamado origen.

Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones de la distancia entre el punto y el origen sobre cada uno de los ejes. Se utilizan las letras X, Y, Z para representar las coordenadas.

Sistema-de-coordenadas.

Métodos gráficos

Los métodos gráficos favorecen la visualización de los conceptos de la suma vectorial, sobre todo con un dibujo rápido. Pero, los métodos analíticos se usan con mayor frecuencia porque son más rápidos y más precisos.

Método del triángulo para suma

La suma de vectores no puede realizarse como si estuviéramos efectuando la suma de cantidades escalares, ya que además de su magnitud deben considerarse su dirección y sentido.

Procedimiento

  1. Seleccionar escala y medir cada vector a trazar.
  2. Desde el origen trazar el primer vector A de acuerdo a su dirección, magnitud y sentido.
  3. Seguidamente, trazar el segundo vector B a partir de la cabeza del primer vector (cabeza con cola).
  4. Luego, trazar el tercer vector C a partir de la cabeza del segundo vector (cabeza con cola).
  5. La suma de estos tres vectores es otro vector conocido como vector resultante, denominado R. Este vector debe trazarse desde el origen del primer vector A, hasta la flecha (cabeza) del último vector trazado (vector C).
  6. Se mide la longitud del vector resultante para saber su magnitud (usar el factor de escala para transformar a unidades iniciales) y la dirección y sentido se encuentra mediante el transportador. Al final se debe colocar la respuesta que indique la magnitud, dirección y sentido de la resultante.
Método del Polígono (triángulo).

Método del paralelogramo

El método del paralelogramo es el otro método gráfico que nos sirve para sumar solo dos vectores a la vez; en el método del polígono (triángulo) podemos sumar varios vectores.

En un paralelogramo los lados opuestos son paralelos y de igual longitud. Además, dos ángulos
suplementarios suman 180°.

Procedimiento

  1. Elegir escala y medir cada vector.
  2. Trazar cada vector que se suma con sus orígenes juntos, según su magnitud, dirección y sentido.
  3. Dibujar de la punta de flecha de cada vector un segmento de recta paralelo al que corresponde al otro vector opuesto.
  4. Trazar el vector resultante desde el origen en común hasta donde se unen los vectores paralelos (diagonal del paralelogramo).
  5. Medir la magnitud del vector resultante con la regla (se debe usa el factor de escala para saber la magnitud del vector en sus unidades originales) y su dirección con el transportador, se debe recordar que la dirección del vector es el ángulo que forma con el eje “x” positivo. La respuesta se coloca haciendo referencia a la magnitud, dirección y sentido.
Método del Paralelogramo

Métodos analíticos

Los métodos analíticos nos ayudarán a resolver problemas de vectores con mayor precisión en los cálculos. Razón por la cual debemos prestar atención en aprenderlos correctamente. Entre los métodos más usados tenemos: el método por suma de componentes rectangulares y el método por medio de las leyes de cosenos y senos.

Suma de vectores por el método de componentes

Este método consiste en descomponer cada uno de los vectores a sumar en 2 componentes: componente en el eje X, componente en el eje Y. 

  • El módulo de la componente X es igual al módulo del vector original por el coseno del ángulo que define la dirección del vector original.
  • El módulo de la componente Y es igual al módulo del vector original por el seno del ángulo.

Los componentes o proyecciones Vx y Vy, son cantidades escalares con signo, lo cual nos permite efectuar operaciones de suma, resta, multiplicación y división.

Procedimiento

  1. Hallar las componentes de los vectores dados.
  2. Sumar los componentes horizontales para obtener un vector en la dirección horizontal, denotado por Rx y las componentes verticales para obtener un vector en la dirección vertical, denotado por Ry.
  3. Se calcula el Módulo (Magnitud).
  4. Calcular la Dirección (Ángulo).
  5. Escribir el valor del vector R.

Así, de acuerdo con las relaciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras se relacionan la magnitud del vector y los componentes del vector.

Metodo analitico

También se debe tener en cuenta los signos de las componentes X, Y de un vector. A continuación, verás como se definen según los cuadrantes del plano cartesiano. De igual manera, la forma en como se deben localizar los ángulos de un vector resultante con referente al eje X positivo.

Cuadrantes. Vectores.

Importante: cuando estemos buscando las componentes de un vector, podemos usar tanto el ángulo que nos dan como referencia inicial o el que resulta al medirlo con referencia al eje X positivo. Esto también se aplica al momento de calcular un vector resultante. Según el ejemplo de abajo y asumiendo que el módulo del vector es «10 m»las componentes se pueden describir así:

Utilizando el ángulo que se forma en el cuadrante del vector:

  • Vx = (10 m)(-cos60°) = -5 m
  • Vy = (10 m)(-sen60°) = -9 m

Utilizando el ángulo con referencia al eje X:

  • Vx = (10 m)(cos240°) = -5 m
  • Vy = (10 m)(sen240°) = -9 m

Como ves el resultado es el mismo. Ya queda en ti que forma usar. Lo importante es estar pendiente de los signos y que tenga sentido lo que se está analizando en un vector.

Angulos-desde-el-eje-x-positivo

Suma de vectores utilizando las leyes de los cosenos y senos

Este otro método se utiliza cuando se suman analíticamente dos vectores que no son colineales ni perpendiculares entre sí (no son triángulos rectángulos). Para esto podemos aplicar las leyes de cosenos y senos.

Ley-de-cosenos-y-senos

Procedimiento

  • Hacer un esquema de los vectores en el plano cartesiano
  • Calcular la magnitud del vector utilizando la ley de cosenos y senos. Podemos usar la ley de cosenos para buscar la magnitud del sistema, y la ley de senos para calcular el ángulo.
    Nota: practicar la localización de ángulos para poder desarrollar mejor estas clases de problemas.

Recursos

Ejercicios resueltos con vectores

A continuación resolveremos un problema por cada método. Esto incluye los dos métodos gráficos y los dos analíticos.

Suma-de-vectores.-Metodo-del-poligono
Suma-de-vectores.-Metodo-del-paralelogramo
Suma-de-vectores.-Metodo-por-componentes
Suma-de-vectores.-Metodo-ley-de-senos-y-cosenos

Calculadora y simulador de vectores online

A continuación, te dejamos algunos sitios donde puedes resolver ejercicios de vectores mediantes simulaciones.

Esperamos que este artículo te haya servido para tus estudios y te invitamos a que te quedes atento a los próximos post relacionados con la física.

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